Аксиома на избора

Аксиома на Избора

Тази аксиома е формулирана през 1904 г. От Ернст Зермело и гласи (неформален вариант):

Ако имате какъвто и да е набор от урни, всяка съдържаща поне по една топка, възможно е да се избере точно една топка от всяка урна, дори да са безкрайно много урните и да няма указано правило, по което да се избира.

Аксиомата не е необходима, когато урните са краен брой (тогава следва от другите аксиоми на теория на множествата) или ни е известно правило на избора.

Последствия от аксиомата:

1. Аксиомата води до не-конструктивни доказателства – дори когато доказателството постановява съществуването на обект, може и да не може да бъде дефиниран в езика на теория на множествата. Такъв пример е „подредеността” (well ordering) на реалните числа, която следва от тази теорема, но в някои от моделите на теория на множествата (които я използват) , тази подреденост не може да бъде дефинирана.

2. Парадокс на Банах – Тарски: Ако вземем една топка и я разрежем по определен начин, после от парчетата можем да сглобим две топки (само с тяхната транслация и ротация).

Защо я използваме:

Защото е много удобна за използване – нейната употреба не води до противоречие (тук самият аргумент си противоречи - парадокс на Банах - Тарски), а с нейна помощ могат да се докажат много важни резултати.

Откъде идват противоречията, свързани с аксиомата:

От Безкрайността. Всички противоречия оттам идват.

Какво е философското значение на аксиомата на избора:

Тя показва как е бил създаден светът, който се крепи на парадокси.

Какво е практическото значение за нас, в настоящото време и място:

Имайки безкрайно много урни с бюлетини – по една урна за всеки наш избор, ние можем да изберем точно една бюлетина от всяка урна и всеки път да направим своя избор.

Изборът ни е фундаментален, неотменим, неоспорим и се простира в безкрайността